Grandes idées
Grandes idées
L’histoire des mathématiques s’étend sur plusieurs siècles, et la discipline continue d’évoluer.
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Quel est le lien entre l’évolution des mathématiques et l’histoire de l’humanité?
- Comment les mathématiciens ont-ils surmonté les préjugés pour faire évoluer les mathématiques?
- Dans quelles régions du monde des découvertes mathématiques semblables ont-elles été réalisées de manière indépendante en raison de l’isolement géographique?
Les mathématiques sont un langage universel pour comprendre le monde.
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- À quel point le langage mathématique est-il universel?
- Quels sont les points communs entre l’apprentissage d’une langue et l’apprentissage des mathématiques?
- Comment la langue parlée influe-t-elle sur notre compréhension conceptuelle des mathématiques?
Les besoins de la société des différentes cultures ont influé sur l’évolution des mathématiques.
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Les besoins de la société ont-ils toujours eu une influence positive sur les mathématiques?
- Comment la politique a-t-elle influencé l’évolution des mathématiques?
- Comment les mathématiques pourraient-elles influer sur des décisions concernant la justice sociale?
Les outils et la technologie sont des catalyseurs du progrès en mathématiques.
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Les outils et la technologie ont-ils eu une influence sur l’évolution des mathématiques, ou les mathématiques ont-elles eu une influence sur les outils et la technologie?
- Que peut-on réaliser grâce à la technologie, et en quoi ces réalisations permettent-elles d’approfondir sa compréhension des mathématiques?
Les mathématiciens qui ont marqué l’histoire entretenaient un intérêt pour les jeux et une curiosité qui est à l’origine de bien des branches des mathématiques.
- Questions pour appuyer la réflexion de l’élève :
- Qu’est-ce qui pousse un mathématicien à tenter de résoudre un problème en apparence insoluble?
- Qu’est-ce qui est intriguant dans le monde des mathématiques?
- Peut-on trouver des exemples de jeux mathématiques qui ont mené à des applications pratiques?
Contenu
Learning Standards
Contenu
Nombres et systèmes de nombres :
- égyptien, babylonien, romain, grec, arabe, maya, indien, chinois, peuples autochtones
- exploration de concepts comme des bases différentes et d’autres formes arithmétiques
- l’infini
- problèmes du papyrus de Rhind
- Ératosthène
- nombres écrits et oraux
- zéro
- nombres rationnels et irrationnels
- pi
- nombres premiers
Régularités et algèbre :
- l’Algèbre d’Al-Khwarizmi
- mathématiques de l’Inde
- mathématiques de l’Islam
- Descartes
- le nombre d’or
- les régularités dans les arts
- pensée algébrique primitive
- variables
- premiers usages de l’algèbre
- plan cartésien
- notation
- la suite de Fibonacci
Géométrie :
- problèmes du papyrus de Rhind, problèmes du papyrus de Moscou
- Pythagore
- Hippocrate et les problèmes de construction de l’Antiquité
- la géométrie dans les Éléments d’Euclide, Archimède, Apollonius, le Livre III de Pappus
- contributions de l’Inde et du monde arabe
- Descartes et Fermat
- droites, angles, triangles
- les cinq postulats d’Euclide
- constructions géométriques
- évolution dans le temps
Probabilités et statistique :
- Pascal, Cardano, Fermat, Bernoulli, Laplace
- jeux antiques comme les dés et le jeu du chien et du chacal de l’Égypte ancienne
- tenue de livres des Égyptiens
- Graunt et le développement de la statistique pour répondre aux besoins des compagnies d’assurance
- le triangle de Pascal
- jeux de hasard
- les tout débutsde la statistique et des probabilités
- formes d’organisation des données à l’origine des probabilités et de la statistique
Outils technologiques : évolution dans le temps, des tablettes en argile aux calculateurs et aux ordinateurs modernes
- papyrus, tablette d’argile, os, compas et règle droite, abaque, échelles, règle à calculer, règle graduée, rapporteur d’angles, calculatrice, ordinateur
Cryptographie :
- écriture cunéiforme
- usage militaire du chiffrage par les Spartiates
- première documentation du chiffrage dans le monde arabe
- John Wallis
- la Deuxième Guerre mondiale et la machine Enigma
- codes à barres
- arithmétique modulaire
- cryptage RSA
- techniques actuelles de cryptage et sécurité du cryptage des mots de passe numériques
- utilisation du chiffrage, du cryptage et du décryptage au cours de l’histoire
- utilisations modernes de la cryptographie pour la guerre, applications numériques
Compétences disciplinaires
Learning Standards
Compétences disciplinaires
Raisonner et modéliser
Élaborer des stratégies de réflexion pour résoudre des casse-têtes historiques et jouer à des jeux
- raisonner pour choisir des stratégies gagnantes
- généraliser et extrapoler
Explorer, analyser et appliquer des idées mathématiques historiques au moyen du raisonnement , de la technologie et d’autres outils
- examiner la structure des concepts mathématiques et les liens entre eux dans des contextes historiques
- raisonnement inductif et déductif
- prédictions, généralisations et conclusions tirées d’expériences
- outils pertinents du point de vue historique
- usages très variés, notamment :
- exploration et démonstration de relations mathématiques
- organisation et présentation de données
- formulation et mise à l’épreuve de conjectures inductives
- modélisation mathématique
- présentation de solutions ou d’idées mathématiques historiques dans une perspective contemporaine
- matériel de manipulation, comme règle, compas, abaque et autres outils faisant référence à l’histoire
Faire preuve de pensée créatrice et manifester de la curiosité et de l’intérêt dans l’exploration de problèmes
- être ouvert à l’essai de stratégies différentes
- on fait référence ici à une réflexion mathématique créatrice et innovatrice plutôt qu’à une représentation créative des mathématiques, p. ex. par les arts ou la musique
- poser des questions pour approfondir sa compréhension ou pour ouvrir de nouvelles voies d’investigation
Comprendre et résoudre
Analyser de manière critique des stratégies multiples employées pour résoudre des problèmes mathématiques historiques
Développer, démontrer et appliquer sa compréhension des concepts mathématiques par des jeux, des histoires, l’investigation et la résolution de problèmes
- investigation structurée, orientée et libre
- observer et s’interroger
- relever les éléments nécessaires pour comprendre un problème et le résoudre
Explorer et représenter des concepts et des relations mathématiques par la visualisation
- créer et utiliser des images mentales pour appuyer sa compréhension
- la visualisation peut être appuyée par du matériel dynamique (p. ex. des relations et des simulations graphiques), des objets, des dessins et des diagrammes
Appliquer des approches flexibles et stratégiques pour résoudre des problèmes
- choisir les outils mathématiques appropriés pour résoudre un problème
- choisir une stratégie efficace pour résoudre un problème (p. ex. essai-erreur, modélisation, résolution d’un problème plus simple, utilisation d’un graphique ou d’un diagramme, jeu de rôle, représentations historiques)
- interpréter une situation pour cerner un problème
- appliquer les mathématiques à la résolution de problème
- analyser et évaluer la solution par rapport au contexte initial
- répéter ce cycle jusqu’à ce qu’une solution vraisemblable ait été trouvée
Résoudre des problèmes avec persévérance et bonne volonté
- ne pas abandonner devant les difficultés et persévérer (p. ex. les difficultés rencontrées par certains mathématiciens, et comment leur persévérance s’est soldée par des découvertes mathématiques)
- résoudre les problèmes avec dynamisme et détermination
Réaliser des expériences de résolution de problèmes qui font référence aux lieux, aux histoires et aux pratiques culturelles, y compris des peuples autochtones de la région
- aux activités quotidiennes, aux pratiques locales et traditionnelles, aux médias populaires, aux événements d’actualité et à l’intégration interdisciplinaire
- en posant et en résolvant des problèmes ou en posant des questions sur les lieux, les histoires et les pratiques culturelles
Communiquer et représenter
Expliquer et justifier des concepts et des décisions mathématiques de plusieurs façons
- utiliser des arguments mathématiques pour convaincre
- prévoir des conséquences
- demander aux élèves de choisir parmi deux scénarios, puis de justifier leur choix
- par exemple : orale, écrite, visuelle, au moyen de technologies
- communiquer efficacement d’une manière adaptée à la nature du message et de l’auditoire
Utiliser des représentations symboliques historiques pour explorer les mathématiques
Utiliser le vocabulaire et le langage des mathématiques pour participer à des discussions en classe
- dialogues entre pairs, discussions en petits groupes, rencontres enseignants-élèves
Prendre des risques en proposant des idées dans le cadre du discours en classe
- utile pour approfondir la compréhension des concepts
- peut aider les élèves à clarifier leur réflexion, même s’ils doutent quelque peu de leurs idées ou si leurs prémisses sont erronées
Faire des liens et réfléchir
Réfléchir sur l’approche mathématique
- présenter le résultat de son raisonnement mathématique et celui d’autres personnes, y compris évaluer les stratégies et les solutions, développer les idées et formuler de nouveaux problèmes et de nouvelles questions
Faire des liens entre différents concepts mathématiques , et entre les concepts mathématiques et d’autres domaines et intérêts personnels
- s’ouvrir au fait que les mathématiques peuvent aider à se connaître et à comprendre le monde autour de soi (p. ex. activités quotidiennes, pratiques locales et traditionnelles, médias populaires, événements d’actualité, justice sociale et intégration interdisciplinaire)
Réfléchir aux conséquences des mathématiques sur les plans culturel, social et politique
Voir les erreurs comme des occasions d’apprentissage
- vont des erreurs de calcul jusqu’aux fausses prémisses
- en :
- analysant ses erreurs pour cerner les éléments mal compris
- apportant des correctifs à la tentative suivante
- relevant non seulement les erreurs, mais aussi les parties d’une solution qui sont correctes
Incorporer les visions du monde, les perspectives, les connaissances et les pratiques des peuples autochtones pour établir des liens avec des concepts mathématiques
- en :
- collaborant avec les Aînés et les détenteurs du savoir parmi les peuples autochtones de la région
- explorant les principes d’apprentissage des peuples autochtones (http://www.fnesc.ca/wp/wp-content/uploads/2015/09/PUB-LFP-POSTER-Princi… : l’apprentissage est holistique, introspectif, réflexif, expérientiel et relationnel [axé sur la connexité, les relations réciproques et l’appartenance]; l’apprentissage demande temps et patience)
- faisant des liens explicites avec l’apprentissage des mathématiques
- explorant les pratiques culturelles et les connaissances des peuples autochtones de la région, et en faisant des liens avec les mathématiques
- connaissances locales et pratiques culturelles qu’il est convenable de partager et qui ne relèvent pas d’une appropriation
- pratiques culturelles selon Bishop : compter, mesurer, localiser, concevoir, jouer, expliquer (http://www.csus.edu/indiv/o/oreyd/ACP.htm_files/abishop.htm)
- ressources sur l’éducation autochtone (www.aboriginaleducation.ca)
- Teaching Mathematics in a First Nations Context, FNESC (http://www.fnesc.ca/resources/math-first-peoples/)